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「CTSC2010」性能优化

发表于 阅读次数： Valine：

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难得写了一次一句话题解/cy

jiqimao：我认为做了 [CTSC2010]性能优化 才算理解 fft。

其实 DFT 的基并不一定为 \(2\)，如果保证 \(m\) 次单位根存在（即 \(m\mid (p-1)\) ），我们就可以做基为 \(m\) 的 DFT，如果做一次长度为 \(m\) 的 DFT，其复杂度为 \(O(nm)+mT(\frac{n}{m})\)，即我们按照模 \(m\) 的余数分为 \(m\) 个多项式，然后递归下去，再分别带入单位根进行计算就可以了。这道题保证 \(n\) 的每个质因子小于 \(10\)，所以复杂度是对的。

也可以按照一般的 FFT 写法写一个蝴蝶变换，我比较懒没写，跑的也不慢。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p,g,gi,a[500005],b[500005],G[500005];
int pw(int x,int y)
{
    int res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)res=1ll*res*x%p;
        x=1ll*x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
int getroot(int x)
{
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        bool flag=1;
        if(!(x%2))if(pw(i,x/2)==1)flag=0;
        if(!(x%3))if(pw(i,x/3)==1)flag=0;
        if(!(x%5))if(pw(i,x/5)==1)flag=0;
        if(!(x%7))if(pw(i,x/7)==1)flag=0;
        if(flag)return i;
    }
}
int get(int x)
{
    if(!(x%2))return 2;
    if(!(x%3))return 3;
    if(!(x%5))return 5;
    return 7;
}
void dft(int *f,int n,int op)
{
    if(n==1)return;
    int t=get(n),c=n/t;
    int tmp[t][c];
    for(int i=0;i<n;i++)tmp[i%t][i/t]=f[i];
    for(int i=0;i<t;i++)dft(tmp[i],c,op);
    int wn=pw(op==1?g:gi,(p-1)/n);
    for(int i=0,ww=1;i<n;i++,ww=1ll*ww*wn%p)
    {
        f[i]=0;
        for(int j=0,w=1;j<t;j++,w=1ll*w*ww%p)
            f[i]+=1ll*tmp[j][i%c]*w%p,f[i]%=p;
    }
}
int main()
{
    int n,c;
    scanf("%d%d",&n,&c);
    p=n+1;
    g=getroot(n);
    gi=pw(g,p-2);
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]%=p;
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&b[i]),b[i]%=p;
    dft(a,n,1),dft(b,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*pw(b[i],c)%p;
    dft(a,n,-1);
    int t=pw(n,p-2);
    for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld\n",1ll*a[i]*t%p);
    return 0;
}