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「JOISC 2017 Day 1」烟花棒

发表于 更新于 阅读次数： Valine：

题意

这题真的强orz

不难发现这个问题答案具有单调性，可以二分最小的速度 \(v\)，所以我们只需要判断当速度为 \(v\) 时是否可以点燃所有的烟花棒。

首先不难发现，所有没点燃的人一定可以一直以最高速度向点燃的人跑，而且只会在碰到一个人时掉头。然后我们有一个重要结论：如果一个烟花棒点燃的人和没有点燃的人相遇，那么之后他们一定可以在一起跑，直到点燃的人的烟花棒熄灭，这时续给下一个人。

对于证明，我们考虑相遇后两人跑的方向是否相同：如果相同显然等一个人的灭的那一刻点燃不会劣；如果不同，设正在燃烧的烟花棒时间还剩 \(c\) 秒，位置为 \(x\)，我们强制认为不同的话正在燃烧的那个人向右走。那么如果点燃然后分开跑，能扩展到的区间为 \([x-Tv,x+cv]\)；如果我们让没有点燃的人先跟着点燃的人跑 \(c\)，然后再向回跑，这样能扩展的区间为 \([x+(T-c)v,x+cv]\)。看似变少了，但是我们注意到第二种情况没被点燃的人跑到区间左端点的时间比第一种情况晚了 \(c\) 秒，而在这段时间内所有比左端点还靠左的人可以向右跑 \(cv\) 的距离，根据相对运动的思想，他们之间的相对距离没有变化。

这样的话，当两个人相遇的时候，我们可以认为是给烟花棒的延长时间续了 \(T\) 秒。

同时，我们注意到，如果两个人走的方向相同，那么他们的相对位置不变，即如果某一刻掉头去点燃另外一边的人，所用时是不会因为你之前的选择而变化。这样的话，我们定义两个数列 \(a_i=\frac{X_{i+1}-X_i}{2v},i<k\)，\(b_i=\frac{X_i-X_{i-1}}{2v},i>k\)，即一开始从 \(X_{i+1/i-1}\) 到 \(X_i\) 的用时。则问题被转化为：你需要删掉这两个数列的所有数，且数列内部要按顺序删，每删掉一个数将先减少 \(a_i/b_i\) 的剩余时间然后增加 \(T\) 秒剩余时间，问是否存在一个方案使得任何时刻剩余时间都非负。

我们尝试把数列缩成若干段，使得每一段都有总获得时间大于等于总消耗时间，且对于该段不存在同样满足该性质的前缀（认为 \(a_{k-1}\) 是头，\(a_1\) 是尾）。这样每一段都可以用一个二元组 \((c,val)\) 表示消完这一组至少需要 \(c\) 秒，消完后可以获得 \(val\) 秒时间，显然我们一次只会消去一整组而不是某个前缀。

如果我们能把两个序列都分为这样的一些组，我们可以每次贪心选 \(c\) 较小的然后看能不能全部选完，如果可以删完那么这个 \(v\) 就合法，反之不合法。

如果某个序列不能，说明这个序列存在某个后缀，使得对任意该后缀的前缀，总消耗时间都大于总获得时间。我们发现实际上我们是知道最后的剩余时间的，所以我们考虑时间倒流，这样的话删掉一个数等价于先消耗 \(T\) 时间再获得 \(a_i/b_i\) 的时间，依旧是任何时刻剩余时间非负。由该后缀的性质可知反过来做不会再遇到一个这样的后缀了。

代码：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,t,x[200005];
vector<double>a,b;
vector<pair<double,double> >c,d;
double const eps=1e-12;
bool check(int v)
{
    a.clear(),b.clear();
    for(int i=k-1;i>=1;i--)a.push_back(0.5*(x[i+1]-x[i])/v);
    for(int i=k+1;i<=n;i++)b.push_back(0.5*(x[i]-x[i-1])/v);
    double now=0,minn=1e18;
    int tmp1=-1,tmp2=-1;
    c.clear(),d.clear();
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        now-=a[i];
        minn=min(minn,now);
        now+=t;
        if(now>-eps)c.push_back(make_pair(-minn,now)),minn=1e18,now=0,tmp1=i;
    }
    now=0,minn=1e18;
    for(int i=0;i<b.size();i++)
    {
        now-=b[i];
        minn=min(minn,now);
        now+=t;
        if(now>-eps)d.push_back(make_pair(-minn,now)),minn=1e18,now=0,tmp2=i;
    }
    int p=0,q=0;
    now=t;
    while(p<c.size()||q<d.size())
    {
        if(p<c.size()&&now>=c[p].first)now+=c[p].second,p++;
        else if(q<d.size()&&now>=d[q].first)now+=d[q].second,q++;
        else return 0;
    }
    c.clear(),d.clear();
    now=0,minn=1e18;
    for(int i=a.size()-1;i>tmp1;i--)
    {
        now-=t;
        minn=min(minn,now);
        now+=a[i];
        if(now>-eps)c.push_back(make_pair(-minn,now)),minn=1e18,now=0;
    }
    now=0,minn=1e18;
    for(int i=b.size()-1;i>tmp2;i--)
    {
        now-=t;
        minn=min(minn,now);
        now+=b[i];
        if(now>-eps)d.push_back(make_pair(-minn,now)),minn=1e18,now=0;
    }
    p=0,q=0;
    now=t;
    for(int i=0;i<a.size();i++)now-=a[i],now+=t;
    for(int i=0;i<b.size();i++)now-=b[i],now+=t;
    if(now<0)return 0;
    while(p<c.size()||q<d.size())
    {
        if(p<c.size()&&now>=c[p].first)now+=c[p].second,p++;
        else if(q<d.size()&&now>=d[q].first)now+=d[q].second,q++;
        else return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    bool flag=0;
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x[i]);
        if(x[i]!=x[i-1])flag=1;
    }
    if(!flag){puts("0");return 0;}
    int l=1,r=1e9;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d",l);
    return 0;
}