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「BJOI2020」封印

发表于 更新于 阅读次数： Valine：

给出只包含小写字母 \(a,b\) 的字符串 \(s,t\)，\(q\) 次询问，每次询问 \(s[l,r]\) 和 \(t\) 的最长公共子串长度。\(|s|,|t|,q\leqslant 2\times 10^5\)。

首先，我们有一个很经典的套路就是用SA或者SAM求出 \(s\) 每个位置最多能向前扩展多长，使得这个子串是 \(t\) 的子串。

说一下用SAM实现的做法：先把 \(t\) 的自动机建出来，然后让 \(s\) 在 \(t\) 的自动机上匹配。我们设每一位的答案为 \(ans_i\) ，再开一个变量 \(now\) 表示当前在哪个节点。

我们一位一位添加进 \(s\) ，假设本次添加的字符为 \(c\)，当 \(now\) 有 \(c\) 的出边时，让 \(ans_i=ans_{i-1}+1\) （注意这里并不是 \(len_{now}+1\) ，因为当前匹配上的串不一定是 \(now\) 节点代表的最长串），然后 \(now=ch[now][c]\)；

如果没有，我们沿着后缀链接向上跳 \(fa\) ，直到跳到虚拟节点或者找到了一个有 \(c\) 的出边的节点。

如果跳到了虚拟节点，即 \(t\) 根本就不含 \(c\) 这个字符，那么使 \(ans[i]=0,now=0\) （\(0\) 为根节点，\(-1\) 为虚拟节点）；

如果找到了 \(c\) 的出边，则 \(ans_i=len_{now}+1,now=ch[now][c]\) （此处的 \(now\) 是你跳到的那个点）。这里为什么是 \(len_{now}+ 1\) 呢？因为我们是从某一个儿子节点跳到这里的，而儿子节点代表的子串都严格比父节点的子串长，所以只要跳一次开始，就包含了这个节点的所有串。这样的总复杂度是线性的，因为匹配长度最多只增加 \(|s|\) 次，所以跳 \(fa\) 的总复杂度也是 \(O(|s|)\) 的。

现在我们有了 \(ans\) 数组，怎么求出真正的答案呢？不难发现答案就是 \(\max\limits_{i=l}^r\min(ans_i,i-l+1)\) ，我们把所有位置按取得 \(\min\) 的是哪一种分成两类，我们发现随着 \(l\) 的增加，会由 \(ans_i\) 取得 \(\min\) 变为 \(i-l+1\) 取得 \(\min\) ，而这个位置为 \(i-ans_i+1\) ，所以我们可以按 \(l\) 离线下来所有询问，开两棵线段树维护两种的答案（单点修改和查询区间 \(\max\)），再给每个位置开个桶，把 \(k-ans_k+1=i\) 的都扔进去，然后当 \(l\) 扫到这个位置就更改就好了。当然你也可以用可持久化线段树来在线处理询问，就是空间多了个 \(\log\) ，代码采用的是离线方法。

代码如下：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct query{int l,r,id;}c[200005];
bool cmp(query x,query y){return x.l<y.l;}
string s,t;
namespace Suffix_Automaton
{
    int ch[400005][2],len[400005],fa[400005],tot,last,ans[200005];
    void extend(int c)
    {
        int np=++tot,p=last;
        last=tot,len[np]=len[p]+1;
        for(;p!=-1&&(!ch[p][c]);p=fa[p])ch[p][c]=np;
        if(p==-1)return;
        int q=ch[p][c];
        if(len[q]==len[p]+1){fa[np]=q;return;}
        int nq=++tot;
        ch[nq][0]=ch[q][0],ch[nq][1]=ch[q][1];
        fa[nq]=fa[q];
        len[nq]=len[p]+1;
        fa[q]=fa[np]=nq;
        for(;p!=-1&&ch[p][c]==q;p=fa[p])ch[p][c]=nq;
    }
    void get_ans()
    {
        int now=0;
        for(int i=0;i<s.size();i++)
        {
            int c=s[i]-'a';
            if(ch[now][c])now=ch[now][c],ans[i+1]=ans[i]+1;
            else
            {
                while(now&&(!ch[now][c]))now=fa[now];
                if(!ch[now][c])ans[i+1]=0;
                else ans[i+1]=len[now]+1,now=ch[now][c];
            }
        }
    }
}
struct Segment_Tree
{
    int tree[800005];
    void modify(int l,int r,int x,int a,int b)
    {
        if(l==r){tree[x]=b;return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a<=mid)modify(l,mid,x*2,a,b);
        else modify(mid+1,r,x*2+1,a,b);
        tree[x]=max(tree[x*2],tree[x*2+1]);
    }
    int query(int l,int r,int x,int a,int b)
    {
        if(l>=a&&r<=b)return tree[x];
        int mid=(l+r)>>1,ans=0;
        if(a<=mid)ans=query(l,mid,x*2,a,b);
        if(b>mid)ans=max(ans,query(mid+1,r,x*2+1,a,b));
        return ans;
    }
}t1,t2;
using namespace Suffix_Automaton;
vector<int>v[200005];
int anss[200005];
int main()
{
    fa[0]=-1;
    cin>>s>>t;
    int n=s.size();
    for(int i=0;i<t.size();i++)extend(t[i]-'a');
    get_ans();
    for(int i=1;i<=n;i++)v[i-ans[i]+1].push_back(i),t1.modify(1,n,1,i,ans[i]);
    int q;
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++)scanf("%d%d",&c[i].l,&c[i].r),c[i].id=i;
    sort(c+1,c+q+1,cmp);
    int nowl=1;
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        while(nowl<=c[i].l)
        {
            for(int j=0;j<v[nowl].size();j++)
                t1.modify(1,n,1,v[nowl][j],0),t2.modify(1,n,1,v[nowl][j],v[nowl][j]);
            nowl++;
        }
        anss[c[i].id]=max(t2.query(1,n,1,c[i].l,c[i].r)-c[i].l+1,t1.query(1,n,1,c[i].l,c[i].r));
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",anss[i]);
    return 0;
}